基于分形幾何理論模擬各向異性三維粗糙齒面，并在考慮粗糙齒面對時變嚙合剛度和齒隙影響的基礎上，建立了六自由度齒輪傳動系統動力學模型，采用變步長 Runge‐Kutta 算法求解動力學微分方程并獲得齒輪傳動系統的動力學特性。結果表明：隨著齒面粗糙度的增大，時變嚙合剛度值逐漸減小;齒面磨損深度逐漸增大，齒隙值逐漸增大。在傳動系統動力學特性方面，隨著粗糙度增大，齒輪傳動系統動態傳動誤差增大。在相同工況時系統由周期運動趨向于混沌運動，進而表現為混沌振動，使系統振動和噪聲增大。本研究從動力學特性角度去探究齒面微觀形貌對系統運動狀態的影響，并以降低振動和噪聲、提高系統穩定性為目標，探求齒面形貌最優分形參數解。研究可從理論層面為齒面加工提供一定的技術指導。

　　齒輪因其傳動優勢而被廣泛應用在各類傳動設備中，其動力學特性直接反應了設備運行品質。然而，由于齒輪內外部激勵沖擊等因素的存在，會對傳動系統的動力學特性產生影響，加快齒輪磨損或其他故障的發生，引起劇烈的振動和噪聲。因此，研究齒輪傳動系統內部沖擊對提升系統運行品質、降低振動噪聲、延長設備使用壽命具有十分重要的工程價值。

　　齒輪表面形貌直接影響齒輪傳動動力學特性。Majumdar 等研究表明基于分形幾何理論的 M-B 模型可以較好的模擬齒面粗糙形貌。通過大量實驗得出分形參數與粗糙度之間的關系式為 這表明可以定量、準確的實現分形參數與表面粗糙度之間的相互轉化。Yu 等通過分形幾何理論建立粗糙齒面模型，并修正了粗糙表面上存在微凸體時齒輪副的齒隙值。Zhao 等考慮了分形參數對齒輪接觸剛度的影響，隨著粗糙度的增大，時變嚙合剛度逐漸減小。Li 等將修正后的齒隙和嚙合剛度應用到齒輪系統中，并分析了齒隙和剛度對系統動力學特性的影響。然而，包括上述研究在內，很少有基于各向異性三維粗糙齒面模型開展相關研究的。所以本研究首先基于分形幾何理論建立了三維各向異性分形粗糙齒面模型，然后對齒隙和時變嚙合剛度進行了修正研究，同時創新性的引入了基于三維粗糙齒面的非均勻磨損，基于此研究了分形參數對系統動力學特性的影響。本著降低振動噪聲的原則，可以合理選擇使系統處于周期運動的分形參數。因此，從分形參數的角度實現了對齒輪傳動系統振動和噪聲的控制。研究思路和結果可以為齒輪加工和齒輪設計提供一定的理論指導。

　　一、三維分形粗糙齒面建模

　　齒輪齒面機加工后微觀凹凸不平，具有一定的表面粗糙度。同時實際加工齒面微觀形貌呈現出特定的方向性，因此本研究將 x 方向和 y 方向的兩個二維 M-B 分形函數疊加在一起構建 x 、y 兩向異性的三維分形粗糙表面，建模公式為式(1)所示。

　　式中，G_x 表示 x 方向二維尺度系數，D_x 表示 x 方向二維分形維數，y 方向同理。Φ _m,n 是隨機相位，基于表面平整度和頻率分布密度的考慮，取γ=1.5。分形理論模擬的粗糙表面具有連續性、不可分性、尺度不變性和自親和性的特征，克服了表面粗糙度表征對樣本大小的依賴，使得對粗糙表面的描述更穩定、更精確。

　　為了求解粗糙齒面對齒側間隙和嚙合剛度的影響，各向異性三維粗糙齒面建模過程如圖 1 所示。首先根據表 1 齒輪參數建立光滑齒面模型如圖 1(b)所示。本文將圖 1(a)所示的粗糙表面經過旋轉后疊加到光滑齒面上即可得到各向異性三維粗糙齒面，如圖 1(c) 所示。其中圖 1(d)和(e)是粗糙齒面的局部細節圖。

圖 1 各向異性三維粗糙齒面建模過程

表 1 齒輪參數

　　二、齒隙的計算

　　相比于理想光滑齒面，粗糙齒面嚙合時由于微凸體的存在，齒隙值將發生改變。另外，粗糙齒面磨損率也與光滑齒面不同。因此，本研究設定初始齒隙值b₀為50 μm 。微凸體平均高度值記為bi ，粗糙齒面磨損深度值為b_w。綜合修正齒隙為b(t) = b₀ - b_i - b_w 。

　　分形參數對齒隙的影響：齒面粗糙體通過改變兩個輪齒相應接觸區域之間的距離來改變齒隙值，如圖2所示。粗糙表面之間實際值取決于粗糙峰的平均高度。粗糙齒面導致的齒隙修正值應為初始齒隙與表面微凸體高度值之差。根據分形函數(式 1)可以計算在(x₀ , y₀ ) 處單個微凸體的高度。同時沿齒廓方向將弧長等分為n份。則第nj份區域內微凸體的算術平均值高度為：

　　同理，可以得到主動輪和從動輪上所有微凸體絕對值的算術平均值bi _ p 和bi _ g 。則 微凸體導致的齒隙修正值為bi = bi _ p + bi _ g 。圖 3 為不同分形參數時凸體高度值對比圖。從圖中可以得出隨著分形維數增大、特征尺度系數減小，凸體平均高度逐漸減小。

圖 2 考慮三維粗糙齒面嚙合時的齒側間隙示意圖　　

圖 3 不同分形參數時齒面微凸體高度值

　　分形參數對磨損率的影響： 齒面粗糙度不同，其磨損速率必然不同。將齒面形貌特性融入到 Flodin 的齒面磨損研究中，求解不同分形參數時的齒面非均勻磨損速率。齒面磨損深度表達式為：

　　a_H 代表嚙合點的赫茲接觸寬度，k 是磨損系數，v是嚙合點處的滾動速度，P 是嚙合點處的接觸載荷，具體計算方法參考文獻。ζ 是黏著磨損系數，ζ a_HkP 是黏著磨損量。

　　圖 4 為不同分形參數時齒面磨損深度，從圖中可以得出，隨著分形維數的減小、特征尺度系數(表面粗糙度)的增大磨損深度逐漸增大。綜上所述，考慮分形粗糙齒面的綜合齒隙如圖 5 所示。

圖 4 分形參數對齒面磨損深度的影響　　

圖 5 粗糙齒面傳動時的綜合齒隙

　　三、基于三維分形齒面接觸模型的 TVMS 計算

　　時變嚙合剛度是齒輪傳動系統的主要激勵因素之一，影響著系統動力學特性的表現。勢能法是求解時變嚙合剛度使用較為廣泛的方法。它根據材料力學和彈性力學將時變嚙合剛度分解為軸向壓縮剛度k_a 、彎曲剛度k_b 、剪切剛度 k_s 、基體變形剛度k_f 以及赫茲接觸剛度kh進行求解。在考慮三維分形齒面后，微觀上的齒面接觸實際上是微凸體之間的擠壓與滑動，導致齒面實際接觸面積明顯小于理論接觸面積，所以傳統的赫茲接觸剛度不再適用。本文建立了三維各向異性分形齒面接觸模型，用于求解分形齒面接觸剛度。

　　在計算具有分形特征的接觸剛度時，通常可以將一對齒輪之間的彈性接觸問題轉化為具有等效曲率半徑和等效彈性模量的彈性圓柱與剛性平面的接觸。如圖 2(b)所示，其中 P 為剛體平面施加在橢圓微凸體上的法向接觸載荷，δ_n 為橢圓微凸體的高度，ω_n 為橢圓微凸體的實際變形量，取值在(0，δ_n ) 之間。由式(1)可得以橢圓區域的長軸l _x 和短軸l _y 為基底的微凸體的輪廓曲線 z(x, y)，即:

　　單個橢圓微凸體的接觸面積a 為：

　　其中e 表示橢圓微凸體接觸的偏心量。當微凸體變形達到臨界變形δ_c 時，臨界接觸面積 a_c 的表達式為：

　　微凸體的最大接觸面積為：

　　齒輪副分形齒面接觸面積分布函數可表示為：

　　其中ζ 表示橢圓微凸體的接觸系數，

　　當橢圓微凸體處于完全彈性變形時，法向接觸剛度kh可表示為：

　　另外，上述公式中r_x 、r_y 、e 、δ_n 和ω_n 等可在文獻中查得。總時變嚙合剛度可表示為：

　　考慮分形齒面的 TVMS 計算結果如圖 6 所示。從圖中可以看出隨著D的增大或G 的減小，嚙合剛度逐漸增大。這是由于D的增大或G的減小會造成分形齒面接觸面積增大，總體變形量減小，最終導致剛度值增大。

圖 6 分形參數對嚙合剛度的影響

　　四、分形參數對系統特性的影響

　　齒輪傳動系統動力學模型參考文獻建立，不再詳細介紹。通過上述研究可以得出分形參數對齒隙和嚙合剛度值的變化具有顯著影響，這勢必會導致齒輪系統動態特性的改變。設定模型參數值為：b₀ = 50 μm ，e₀ = 25 μm ，μ₁ = μ₂ = 0.1 ，c_px = c_gx = c_py = c_gy = 3×10³ Ns/m，k_px = k_gx = k_py = k_gy = 6×10⁸ Ns/m 。將不同分形參數時的齒隙和嚙合剛度值帶入動力學模型中，采用 Runge‐Kutta 算法對動力學方程求解。

　　將轉速作為變量參數，得到了不同轉速下系統豐富的動力學特性，如圖 7 所示。隨著轉速的增加系統經歷了 1 周期、2 周期、4 周期和混沌運動等多種響應狀態，另外混沌意味著齒輪傳動系統穩定性差，不利于系統穩定運行。因此，可以通過選擇避開圖中混沌運動區域來增強系統穩定性，減少振動以達到降噪的作用。

圖 7 不同轉速時系統動態行為

　　分形維數對齒輪振動特性的影響：選取 3600r/min 和 6000r/min 兩個一般轉速工況，以分形維數 D_x 和 D_y 為變量參數、特征尺度系數G_x = G_y = 5×10^-7 m 、其余參數不變時系統進行動態響應研究，結果如圖 8 所示。

圖 8 不同分形維數( D_x 和 D_y )時系統動態行為

　　從圖 8 中可以看出，隨著齒輪旋轉速度的增加(由3000r/min 提升到 6000r/min)， 齒輪傳動系統動力學響應發生明顯變化，系統穩定性顯著降低。這表明隨著齒輪系統旋轉速度的增加，系統振動明顯加劇。仔細觀察特定轉速時的分岔圖可以發現，在分形維數 D_x 和 D_y 均較小時，動態傳動誤差幅值較大，傳動系統振動劇烈。隨著 D_x 或 D_y 單因素的增加，DTE 幅值快速減小，在 Dx 和 Dy 都增大到 1.9 時，DTE 幅值最小，表明此刻系統傳動最為平穩。

　　特征尺度系數對齒輪振動特性的影響： 以特征尺度系數Gx 和Gy 為變量參數、分形維數 D_x = D_y =1.4 、其余參數不變對系統進行動態響應研究，結果如圖 9 所示。隨著齒輪旋轉速度的增加，系統穩定性明顯降低，這與 4.1 中的結論一致，均屬于工況對傳動系統的固有影響，不可改變。觀察特征尺度系數G_x 和G_y 對系統動力學響應似乎影響并不明顯。仔細觀察可以得出隨著表面特征尺度系數的增大，系統穩定性逐漸降低，振動愈發劇烈。所以為了系統的穩定運行，可以在加工齒輪表面時適當的增大分形維數，減小特征尺度系數。而對于特殊用途(如需要振動的場景)的傳動齒輪，在齒面加工時可以適當減小分形維數而增大特征尺度系數。

圖 9 不同特征尺度系數(Gx 和Gy )時系統動態行為

　　五、結論

　　利用分形幾何理論建立了各向異性三維粗糙齒面模型，并對齒輪嚙合時的齒隙和時變剛度進行修正。研究了齒面形貌對系統動力學特性的影響。主要結論如下：

　　(1)通過改變分形參數可以得到特定的各向異性粗糙齒面模型，分形維數越小、特征尺度系數越大，表面越粗糙，粗糙凸體引起的齒隙修正值越大。

　　(2)隨著表面粗糙度增大，時變嚙合剛度值減小，齒面磨損速率增加，磨損深度在靠近節點的方向逐漸減小。

　　(3)在相同表面粗糙度時，隨著齒輪轉速的增大，系統穩定性降低，動態傳動誤差幅值增大。

　　(4)隨著分形維數的增大和特征尺度系數的減小，系統具有更高的穩定性，可以有效降低齒輪傳動系統的振動特性。

　　參考文獻略.