考慮面齒輪實際齒面的加工誤差客觀存在的基礎上，采用一種迭代方法建立測量坐標系，使得測量坐標系盡量接近設計坐標系，并根據加工誤差對測量坐標系與設計坐標系之間關系的數學模型進行約束，從而實現精確求解。在此基礎上，建立了實測點與理論測量點之間的數學模型，并由此補償加工誤差引起的相關測量誤差。最后進行實際測量實驗，結果顯示本方法的測量坐標系與設計坐標系之間的誤差相比于傳統方法降低了 89% 以上，最大測量偏差降低了 54% 以上，測量結果更加真實可靠。

　　面齒輪傳動于 20 世紀 90 年代開始作為一種傳動分匯扭新型方案應用于直升機傳動系統當中，相應的面齒輪分匯扭傳動主減速器較傳統結構質量下降了 40%，且具有動力分流效果好、振動小、噪聲低等顯著優勢。面齒輪作為新型傳動系統中的關鍵部件，制造精度是影響其各項性能的重要指標，在加工制造的過程中，準確的齒形測量結果能有效地指導下一步的反調修正，從而提高加工精度。

　　在針對零件加工精度的測量時，首先需根據零件設計模型規劃測量路徑，獲取理論測量點在設計坐標系下的坐標及法矢，并根據加工后的零件建立測量坐標系，進行實際測量獲取測量點在測量坐標系下的坐標信息，最后采用數據處理算法進行誤差分析。理想情況下，如果測量坐標系與設計坐標系重合或誤差很小，且測量設備及軟件、偶然因素等影響也很小，得出的測量結果能非常準確地反應出加工誤差。而實際測量過程中與理想情況下的差別不容忽視，測量機床自身存在的幾何誤差、測頭類型及相應的數據補償方式、測量軟件的誤差評價方法都會對測量結果產生影響，除此之外，對測量精度要求很高且幾何復雜的齒輪類零件，在不考慮測量設備及軟件、偶然性等因素影響的情況下，主要還有以下兩個方面引起測量誤差。

　　1)測量坐標系與設計坐標系之間的差異導致的測量誤差。

　　測量過程中需根據實際加工后的零件幾何建立測量坐標系，該過程中影響測量坐標系建立的因素眾多，使得測量坐標系難以與設計坐標系重合，且測量之前無法獲得衡量兩者之間關系的信息。在此基礎上，實際測量前需根據設計模型進行理論測量路徑規劃，相應測量點的坐標及法矢信息是在設計坐標系下獲得的，而測量時這些信息則是在測量坐標系下使用，由于測量坐標系與設計坐標系之間存在差異，故實際測量路徑與理論測量路徑存在誤差，從而影響測量結果。

　　2)加工誤差引起的測量誤差

　　由于加工誤差存在，加工后的齒面相對于原有設計模型是存在誤差的，使得相應的實際測量點與理論測量點存在偏差。另外，加工誤差的存在同時也影響測量坐標系的建立，進一步影響測量結果。

　　為滿足零件的高精度測量要求，目前已存在較多針對上述兩個因素的研究工作，Liu 和 Fang 等基于齒輪測量中心，考慮測量過程中加工誤差引起的漸開線斜齒輪角對中誤差，提出了一種有效的齒距和齒形的測量誤差補償方法。Shi 等提出了一種基于五軸銑床的螺旋錐齒輪在機測量方法。Li等針對準雙曲面齒輪齒面數據測量的局限性，利用誤差敏感性分析模型，通過三維測量點重建，得到了描述實際齒面局部微幾何特征的真實齒面。Zhang 等針對測量過程中的旋轉和加速運動引起的動態測量誤差問題，利用加速度計和陀螺儀對測量誤差進行補償;以上研究的相關成果也用在了面齒輪的測量上。

　　面齒輪的測量設備可以使用齒輪專用測量設備和通用測量設備兩類。對于面齒輪專用測量方法，可以采用齒輪測量中心來實現，也可以在三坐標測量機上結合專用的測量軟件(如 QUIN ‐ DOS)來實現，上述專用測量方法的測量精度高，但需要配備專用設備或軟件。如使用通用測量設備，在三坐標測量機上采用通用測量軟件(如 PC‐ DIMS)即可以進行，通用性強，但目前測量精度一般難以保證，需要進一步研究合理的測量方法并開發相關數據處理技術來提高測量精度。

　　為保證面齒輪三坐標測量方法的測量精度，許多學者開展了相關研究。波音公司 Heath 等首先提出使用坐標測量儀(CMM)對面齒輪齒面進行坐標測量，并將測量區域規劃在工作齒面上。北京工業大學的石照耀教授團隊考慮了面齒輪設計坐標系和測量坐標系之間的轉換誤差，研究了測球半徑對測量結果的影響規律。齒距偏差方面，中南大學的唐進元教授團隊提出面齒輪齒距偏差曲面的相關概念，構建了基于三坐標測量機獲得面齒輪齒距偏差曲面的方法。重慶大學的林超等對如何建立面齒輪的測量坐標系進行了研究，提出了一種基于“三二一原理”的面齒輪測量坐標系建立方法。

　　現有的面齒輪測量方面的研究已取得一定成果，但在某些情況下還存在一些局限性，尤其是對以下兩個方面的研究還有待深入。

　　1)面齒輪測量坐標系與設計坐標系之間關系數學模型的精確求解。

　　根據坐標變換原理，測量坐標系與設計坐標 系之間的關系可以表示為包含 5 個未知量的坐標變換相關的數學模型，并可以進一步根據測量結果來求解該數學模型。該求解過程為復雜的全局優化問題求解，求解結果不但對初始值非常敏感，而且存在多解，且很可能實際要找的解并非全局最優解，故容易出現噪聲解。面齒輪齒面復雜，根據傳統方法建立的測量坐標系與設計坐標系還存在較大偏差，使得相應優化問題的初值不理想。此外，目前也無相關研究來指導如何避免該優化 問題的噪聲解。

　　2)測量坐標系與設計坐標系的差異及加工誤差對測量結果的影響相互耦合，目前還缺乏同時考慮這兩個因素對測量結果影響的研究工作。

　　針對上述兩個問題，本文提出了相應解決方案，主要思路包含下述 3 點：

　　1)鑒于加工誤差的客觀存在，在建立測量坐標系的過程中，綜合考慮面齒輪的幾何特點及其相應加工誤差，盡可能將測量坐標系接近設計坐標系，從而為求解測量坐標系與設計坐標系之間關系的數學模型提供良好的初值。

　　2)根據加工誤差約束測量坐標系與設計坐標系之間關系的數學模型，有效地縮小解集空間，從而盡量避免噪聲解。

　　3)在獲得測量坐標系與設計坐標系之間關系的基礎上，進一步分析加工誤差對測量結果的影響，并由此補償加工誤差引起的測量誤差。

　　一、測量路徑規劃

　　面齒輪齒面方程及法矢：面齒輪齒面幾何一般根據面齒輪的產形原理進行設計，考慮面齒輪與小輪的嚙合過程，將小輪替換為一個少齒數的產形輪，面齒輪齒面則由該產形輪齒面在嚙合過程中包絡形成。以正交直齒面齒輪為例，產形輪(或小輪)與面齒輪嚙合的相對位置關系如圖 1 所示，其中產形輪軸線與面齒輪軸線相交于一點，且產形輪和面齒輪在嚙合過程中分別以角速度 ω_s、ω₂旋轉角度 φ_s、φ₂。根據產形輪齒面方程和相應的嚙合過程，可得面齒輪齒面方程

　　其中 θ_s 為產形輪齒廓線的參變量。根據齒面方程，對應齒面點法矢可表示為

 

圖 1 面齒輪副空間嚙合

　　待測區域規劃：在面齒輪齒形誤差的評價過程中，應選取合適的齒面區域進行測量。首先，為了避免測球在齒頂邊緣和齒根處發生干涉，測量齒面時在邊界處需要預留出一定的空間。其次，考慮面齒輪過渡區域不直接參與嚙合傳動，為了更好地分析測量結果，面齒輪齒形誤差評價范圍以工作齒面為對象。在上述兩點考慮的基礎上，參照螺旋錐齒輪的齒形誤差測量方法，測量區域 ABCD 規劃如圖 2 所示，齒寬方向各向內收縮 10%;齒頂向下收縮 5%，過渡曲線向上收縮 5%；其中 W_h為面齒輪齒寬，H_v表示工作區域對應齒寬處的截面線在面齒輪軸線上的投影。測量區域密度為 9×5 的網格點，即在齒寬方向取 9 個網格點，齒高方向上取 5 個網格點。

圖 2 面齒輪齒面網格示意圖

　　測量點坐標求解：要實現對面齒輪測量路徑的規劃，還需求得待測區域網格點的理論坐標。為此，構建面齒輪齒槽中心平面 ZOR，如圖 3 所示，待測區域網格點與平面 ZOR 上的點存在一一對應的關系，以齒面上某一待測網格點 P_t 為例，其繞面齒輪軸線 Z 旋轉的軌跡與平面 ZOR 的唯一交點為點 P，相應地稱該一一對應的關系為旋轉投影關系。

圖 3 待測區域投影平面

　　對應地，面齒輪齒面在 ZOR 上的旋轉投影為 Σ，待測區域 ABCD 在平面 ZOR 上的旋轉投影為 A′B′C′D′，曲線 C_t為過渡曲線在 ZOR 上的旋轉投影。假設面齒輪內半徑為 R_i，外半徑為 R_o，在圖 3 所示的 ZOR 坐標系內，投影區域 A′B′C′D′邊緣點 A′、B′的 r 坐標 r_min為

　　邊緣點 D′、C′的 r 坐標 r_max為

　　在OR 軸的[r_min，r_max]區間上規劃 9 個等距節點 r_i( i=1，2，…，9)，使得

　　根據過渡曲線形成原理，結合齒面方程(式(1))，過渡曲線上半徑 ri處的點 r(θ_smax,φ_i )滿足

 

　　其中 θ_smax為產形輪齒頂對應的展角，是已知常數。據此求解式(6)可得 φ_i，再將 θ_smax、φ_i 代入式(1), 可得過渡曲線在 r_i處 Z 坐標 z_ri 為

　　C_t為齒面過渡曲線繞 Z 軸旋轉投影得到，故曲線 C_t上所有點在 ZOR 平面上的 Z 坐標與過渡曲線上對應點的 Z 坐標相等，令投影區域在 R_i處的 Z 坐標上下限 z_riu 、z_ril 為

　　式(8)、式(9)中 z_A 為面齒輪齒頂在 ZOR 坐 標系內的 Z 坐標值，這樣在投影區域 A′B′C′D′內，每一個 r_i對應著一對上下限 z_riu、z_ril，如圖 3 所示。

　　相應的在區間[ z_riu ,z_ril ]上規劃 5 個等距節點 z_j(j=1，2，…，5)，使得

　　結合式(5)和式(10)，投影區域 A′B′C′D′內的 9×5 個網格點坐標可表示為 P(r_i，z_j )。根據旋轉投影的原理，投影網格點 P 與待測齒面網格點 P_t ( θ_s，φ₂ )之間存在對應關系如下：

　　已知參數 r_i和 z_j，求解式(11)對應的參數 θ_s、 φ₂，具體求解過程可以參考文獻，再結合式(2)可求得齒面網格點 P_t 及其法矢 n_t，故網格點理論坐標及法矢可表示為關于參數 r_i、z_j的矢量函數 P_t( r_i，z_j )和 n_t( r_i，z_j )。

　　二、測量坐標系的建立

　　測量坐標系建立策略：以面齒輪設計坐標系作為理想測量坐標系，齒面網格中心點為設計坐標系的角向定位基準，假設面齒輪設計坐標系 S_d如圖 4 所示，坐標原點 O_d與上端面圓心重合，Zd軸與面齒輪軸線共線，遠離上端面的方向為正，Y_d 方向為網格中心點 P_t( r₅，z₃ )與 Z_d軸確定的平面的法矢，X_d根據笛卡兒右手法則確定。

圖 4 面齒輪設計坐標系

　　定義理想的測量坐標系之后，需進一步建立測量坐標系與實際零件之間的關系，由于該坐標系通常與理想的測量坐標系有所差異，稱之為實際測量坐標系。一般地，可通過測量零件特征元素上各個實際點的坐標，并進行相應的數學處理，從而建立工件實際擺放位置與測量坐標系之間的對應關系，即獲得了實際測量坐標系。對于面齒輪齒面來說，網格中心點 P_t( r₅，z₃ )并不是突出的特征元素，在確定測量坐標系角向定位基準的過程中，很難準確地在實際齒面上觸碰到該點，存在一定程度的偶然性;選取的測量基準與設計基準位置的差異將會導致測量坐標系與設計坐標系不重合，影響測量結果的準確性。

　　為了減小制造誤差及選取基準時的偶然性對測量坐標系的影響，本文基于以下兩點策略建立測量坐標系，使得建立的實際測量坐標系盡可能接近理想的測量坐標系(即設計坐標系)：

　　1)考慮面齒輪齒坯外圓和齒頂端面的公差， 確定測量坐標系的原點 O_m和 Z_m軸；

　　2)基于迭代思想確定測量坐標系的 X_m軸。

　　測量坐標系原點 O_m 及 Z_m 軸確定：采用通用測量軟件進行測量時，系統存在一個初始坐標系 O?XYZ，在該坐標系下逐次觸測面齒輪頂面區域的點，根據平面擬合的原理，當測量點到達一定數目時，用最小二乘的方式將測點擬合成一平面 F，并隨著測點的增加逐次更新 F；當 F 隨著觸點的增加，其所表現出來的平面度在圖紙規定的平面度公差范圍內跳動時，提取 F 的法矢作為測量坐標系 Z_m軸所在的方向，如圖 5(a)所示。平面 F 在 O‐XYZ 坐標系下可表示為

　　

圖 5 O_m位置和 Z_m方向確定

　　Z_m軸方向確定后，測針觸測外圓同一高度上的點，如圖 5(b)所示。當測量點個數達到一定數目時，采用最小二乘的方式將測點擬合為圓 G，并隨著測點的增加逐次更新 G；當 G 的圓度在公差規定的范圍內趨于穩定時，提取圓心坐標 O_G(x_G， _yG，z_G)，此時將測量坐標系的原點 O_m (x_m，y_m，z_m) 定義為

　　測量坐標系 Xm軸的確定：定義測量坐標系原點 O_m 和 Z_m 軸后，尚未確定的 X_m軸、Y_m軸方向仍為系統初始的 X、Y 方向。如圖 6 所示，在該坐標系下，將測針大致觸測網格中心點 P_t( r₅，z₃ )附近區域，獲得測點 P₀的三坐標測量值(x_P0 ，y_P0 ，z_P0 )，根據式(14)、式(15)將其轉換成柱坐標形式(R_P0 ，β_P0 ，z_P0 )。

　　

圖 6 粗建測量坐標系

　　其中 R_P0 為 點 P₀ 所在的半徑位置，β_P0 為 點 P₀ 的極角。

　　獲得 P₀與初始 X 軸之間的轉角 β_P0 之后，將坐標系 O_m ‐XYZ_m繞 Z_m軸旋轉 β_P0 角，使得 XOmZm平面經過 P₀點，便于后文描述，將旋轉之后的測量坐標系定義為 S₀，此時 S₀ 的 X 軸方向定義為 X_m 軸，Y 軸的方向定義為 Y_m軸。對于面齒輪齒面來說，點 P_t(r₅，z₃ )并不是特征元素，測量時無法保證測點 P0就是理論網格中心點 P_t( r₅，z₃ )，那么以 P₀ 為角向定位基準粗略建立的測量坐標系就會與設計坐標系之間存在偶然性偏差。

　　為避免這一問題，使角向定位基準點較為準確地落在面齒輪理論網格中心上，采用一種迭代尋找齒面網格中心點確定測量坐標系 X_m方向的方法。具體步驟如下：

　　1)根據建立的理想測量坐標系(如圖 4 所示)，求得理論網格中心點 P_t( r₅，z₃ )的柱坐標(R，O，Z)，及該點的法矢量 n_t( r₅，z₃ )。

　　2)在坐標系 S_k( k 初始值為 0)下沿理論法矢 n_t( r₅，z₃ )觸測點 P_t(r₅，z₃ )，輸出極坐標形式的測量結果(R_k，β_k，Z_k );

　　3)比較該點的測量半徑 R_k與理論半徑 R_t；若滿足精度要求|R_k-R_t|≤ε，輸出坐標系 S_k作為后續測量齒面的精確坐標系;若不滿足精度要求 |R_k-R_t|≤ε，則將坐標系 S_k繞 Z_k軸旋轉 β_k角度，旋轉后的坐標系定義為 S_k+1，且令 k=k+1，跳轉執行步驟 2)。

　　相應的流程如圖 7 所示。

圖 7 迭代建立測量坐標系