斜齒輪在工作過(guò)程中，除齒輪本體在外載荷作用下發(fā)生彎曲、剪切、徑向壓縮等變形，影響齒輪的接觸狀態(tài)以外，其支撐軸由于承受來(lái)自齒輪的軸向力、徑向力和切向力，發(fā)生彎曲及扭轉(zhuǎn)變形，使齒輪副中心距發(fā)生改變，導(dǎo)致齒輪接觸載荷分布及接觸剛度變化，從而對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的工作性能產(chǎn)生重要的影響。因此，綜合考慮支承軸變形的影響，開(kāi)展斜齒輪接觸特性研究，對(duì)齒輪強(qiáng)度分析、壽命計(jì)算和齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)具有重要的工程意義。
國(guó)內(nèi)外學(xué)者在齒輪接觸分析方面已進(jìn)行了廣泛的研究。Conry等在考慮齒輪軸和輪齒彈性變形情況下，基于齒輪對(duì)嚙合的接觸條件，運(yùn)用改進(jìn)單純形法對(duì)斜齒輪齒面載荷分布進(jìn)行計(jì)算；Simon采用有限元方法計(jì)算直齒輪和斜齒輪接觸變形，并基于大量的計(jì)算結(jié)果，采用回歸分析與插值函數(shù)獲得了綜合考慮斜齒輪彎曲和剪切變形的計(jì)算公式，并基于該式進(jìn)行了斜齒輪的載荷與應(yīng)力計(jì)算。卜忠紅等采用ANSYS軟件計(jì)算齒面柔度系數(shù)，基于線性規(guī)劃法求解斜齒輪的載荷分布，并分析了齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響。白恩軍采用有限元軟件研究了齒輪軸變形下斜齒輪的接觸特性，結(jié)果表明齒輪軸變形影響齒向載荷分布，降低了齒輪的嚙合剛度。李杰等采用有限元軟件建立變速器齒輪與齒輪軸有限元模型，分析變速器齒輪軸變形對(duì)齒面接觸狀態(tài)的影響。Li采用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法結(jié)合三維有限元仿真，在考慮齒輪裝配誤差、加工誤差和齒輪修形條件下，對(duì)直齒輪接觸進(jìn)行研究，分析加工誤差、裝配誤差和齒輪修形參數(shù)等對(duì)齒輪載荷分布、接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的影響。
目前已發(fā)表文獻(xiàn)大多研究齒輪接觸載荷分布及齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)、裝配及加工誤差等對(duì)其接觸特性的影響，有關(guān)齒輪軸變形對(duì)齒輪接觸尤其是斜齒輪的接觸特性研究相對(duì)較少。本文以支承于軸上的一對(duì)斜齒輪副為研究對(duì)象，基于齒輪嚙合理論及線性規(guī)劃內(nèi)點(diǎn)法，應(yīng)用MATLAB軟件編寫(xiě)斜齒輪齒面接觸載荷分布計(jì)算程序，對(duì)齒輪嚙合區(qū)接觸線、齒向載荷分布進(jìn)行計(jì)算，分析齒輪軸彎曲及扭轉(zhuǎn)變形對(duì)斜齒輪接觸特性的影響規(guī)律。
一、齒面接觸線
齒面方程：以?xún)升X輪中心連線為y軸，以主動(dòng)齒輪軸線方向?yàn)閦軸，按照右手定則建立如圖1所示直角坐標(biāo)系，其中，c為斜齒輪端面漸開(kāi)線起點(diǎn)，端面漸開(kāi)線上任意一點(diǎn)s的法線與基圓切于點(diǎn)a，取O1c與X軸的夾角為σ，代表齒輪的旋轉(zhuǎn)位置，取角∠aO1c為u，代表齒輪的嚙合位置。
根據(jù)漸開(kāi)線的形成原理，有 
對(duì)漸開(kāi)線上任意一點(diǎn)S，則有，
式中，(x，y)為S點(diǎn)的坐標(biāo)。
將漸開(kāi)線齒廓繞Z軸作螺旋運(yùn)動(dòng)，形成漸開(kāi)螺旋面，如將點(diǎn)S繞N軸旋轉(zhuǎn)至S1點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ，則螺旋面上點(diǎn) S1的坐標(biāo)為：
式中，p為導(dǎo)程。
齒面接觸線：齒面接觸線方程參考文獻(xiàn)中建立的的斜齒輪齒面數(shù)學(xué)模型。
為了確定斜齒面上的接觸線位置，采用切片法，將斜齒輪看作由許多薄直齒片體依次轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)很小的轉(zhuǎn)角組成。相鄰直齒片體間對(duì)應(yīng)一個(gè)旋轉(zhuǎn)角Δθ， 取Δθ= Δσ，且θB =NbΔθ，其中，Nb為等分的直齒片體份數(shù)，θB為斜齒輪輪齒寬度B對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度。對(duì)于端面上某一嚙合點(diǎn)K，假設(shè)它的位置參數(shù)為(Xi，Yi， Zi，σi，ui)，繞著斜齒輪軸線方向作螺旋運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)jΔθ，得到對(duì)應(yīng)的嚙合點(diǎn)為K1，相應(yīng)的位置參數(shù)為(Xk，Yk， Zk，σk，uk)，根據(jù)式(2)有：
從式(3)可知，由端面上的各個(gè)嚙合點(diǎn)，利用jΔσ替代jΔθ，得到同一齒面接觸線上任意嚙合點(diǎn)的位置參數(shù)。利用這種方法可以獲得一個(gè)齒從進(jìn)入嚙合到退出的任意旋轉(zhuǎn)位置的接觸線。
二、彈性變形
齒輪軸彎曲及扭轉(zhuǎn)變形：以主動(dòng)齒輪為例，基于材料力學(xué)理論推導(dǎo)齒輪軸的彎曲及扭轉(zhuǎn)變形。分析時(shí)，將齒輪簡(jiǎn)化為直徑為齒根圓直徑的圓柱體，軸為簡(jiǎn)單鉸支梁，如圖2所示。若距離輪體左端X0處作用載荷Fn，則在x處引起的彎曲變形為：
式中，wb(X，X0)為由點(diǎn)X0處的載荷Fn在點(diǎn)X處引起的彎曲變形，abxx0為輪體彎曲變形影響系數(shù)。根據(jù)材料力學(xué)中軸的彎曲變形理論推導(dǎo)出計(jì)算abxx0的解析表達(dá)式為：
當(dāng)x≤x0時(shí)，
式中，E為材料的彈性模量；I1、I2、I3分別為左、右軸段以及輪體的慣性矩；L為兩支撐點(diǎn)間的距離；B為齒輪寬度；a、b為左、右兩端支撐軸長(zhǎng)度。
齒輪軸在扭轉(zhuǎn)載荷作用下將發(fā)生一定的扭轉(zhuǎn)變形，在點(diǎn)x處的扭轉(zhuǎn)變形為：
式中，alxx0為在點(diǎn)x0處作用載荷時(shí)，點(diǎn)x處的扭轉(zhuǎn)變形影響系數(shù)。
式中，G為剪切彈性模量，J1、J2、J3分別為左、右軸段以及輪體的極慣性矩；Fnl為齒輪軸扭轉(zhuǎn)變形引起的嚙合點(diǎn)角位移轉(zhuǎn)變?yōu)榻佑|線法向位移的轉(zhuǎn)換因子。
式中，rk為嚙合點(diǎn)半徑，rb為基圓半徑，αnk為嚙合點(diǎn)法向壓力角，βk為嚙合點(diǎn)螺旋角。
輪齒彎曲及剪切變形：忽略輪齒徑向壓縮變形，輪齒的彎曲及剪切變形采用文獻(xiàn)提出的公式計(jì)算：
式中，wp (x，x0)為輪齒的彎曲及剪切總變形；apxx0為輪齒變形影響系數(shù)。
式中，f1為載荷作用點(diǎn)的位置因子；f2為載荷作用點(diǎn)與變形影響點(diǎn)間徑向相對(duì)位置因子；f3為載荷作用點(diǎn)與變形影響點(diǎn)間軸向相對(duì)位置因子；hf為齒頂高；hk為齒根高；rfil為齒根半徑。
赫茲接觸變形：嚙合斜齒輪副的赫茲接觸變形為:
式中，wb1，wb2為主、從動(dòng)齒輪軸彎曲變形引起的嚙合點(diǎn)位移;wl1，wl2為主、從動(dòng)齒輪軸扭轉(zhuǎn)變形引起的齒輪嚙合點(diǎn)位移；wp1，wp2為嚙合點(diǎn)處主、從動(dòng)齒輪的輪齒彎曲剪切總變形；wh為嚙合齒輪副的赫茲接觸變形。
三、載荷分布計(jì)算
載荷計(jì)算時(shí)，用接觸線段中點(diǎn)坐標(biāo)表示該直齒片的嚙合點(diǎn)。設(shè)由中間點(diǎn)坐標(biāo)組成的向量為Ig，空載條件下，相互嚙合的兩個(gè)齒輪對(duì)應(yīng)嚙合點(diǎn)之間的距離為
施加到每對(duì)嚙合點(diǎn)上的載荷為
由施加載荷引起的齒輪變形為
在載荷作用下，一對(duì)嚙合點(diǎn)間的總位移為
n為齒片數(shù)。齒輪接觸需滿足以下三個(gè)約束條件：
1)兼容性條件。在任意嚙合點(diǎn)，初始間隙和彈性變形之和大于或等于齒輪的剛體位移，即：
式中，gi ≧0，為在載荷作用下嚙合點(diǎn)i的分離間隙；δi為齒輪的傳動(dòng)誤差；aij為施加在j點(diǎn)的載荷對(duì)i點(diǎn)的彈性變形影響系數(shù)；wi為i點(diǎn)處的總變形；pj為作用在j點(diǎn)的載荷。
2)平衡性條件。作用于各個(gè)離散點(diǎn)的分載荷之和必須與作用于主動(dòng)齒輪的載荷相等，即：
式中，T為作用于主動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)矩；rb1為主動(dòng)齒輪的基圓半徑。
3)接觸條件。參與嚙合的點(diǎn)的載荷大于零，沒(méi)有參與嚙合的點(diǎn)的載荷為零，即當(dāng)gi=0時(shí)，Pi >0。當(dāng)gi>0時(shí)， Pi=0。
將上述載荷分布求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為下列最優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)為最大剛體位移，采用內(nèi)點(diǎn)法求解，數(shù)學(xué)模型為：
式中，A為變形影響系數(shù)矩陣，Ap = w；qT為單位向量。
四、斜齒輪副接觸分析
剛性支承軸：按照第三節(jié)的斜齒輪載荷分布計(jì)算方法，應(yīng)用MATLAB 軟件編寫(xiě)計(jì)算程序，計(jì)算所用斜齒輪基本參數(shù)見(jiàn)表1。
接觸線及載荷分布：圖3所示為計(jì)算所得的斜齒輪齒面嚙合區(qū)域接觸線。從圖中可以看岀，嚙合線是一組傾斜的直線，齒輪從右下端進(jìn)入嚙合，接觸線漸漸增長(zhǎng)，直到輪齒全部參與嚙合，接觸線保持長(zhǎng)度不變，之后接觸線逐漸變短，直至輪齒全部退出嚙合區(qū)。
圖4所示為瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)角度為99°時(shí)的時(shí)變嚙合線。由圖可知，此時(shí)有三對(duì)齒輪同時(shí)參與嚙合，且每個(gè)齒只有部分齒面參與嚙合，其中中間齒上嚙合線較長(zhǎng)，兩側(cè)輪齒嚙合線較短，總嚙合線長(zhǎng)度為30. 45 mm。
圖5所示為旋轉(zhuǎn)角度為99° ，轉(zhuǎn)矩為100N·m時(shí)齒面接觸線上的載荷分布情況。從圖中可以看岀，各嚙合齒載荷分布不均勻，第一對(duì)齒剛進(jìn)入嚙合狀態(tài)，所受載荷較低;中間齒的載荷呈兩端高中間低的分布，第三齒的載荷從端面向內(nèi)呈單調(diào)上升的分布趨勢(shì)。
齒輪嚙合剛度：圖6和7所示為主動(dòng)齒和從動(dòng)齒單齒嚙合剛度曲線，從圖中可以看出，單齒嚙合剛度隨齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度的增加呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì);主動(dòng)齒的單齒嚙合剛度小于從動(dòng)齒的嚙合剛度，其中，主、從動(dòng)齒單齒平均嚙合剛度分別為1.01×108N/m和2. 09x 108N/m；主動(dòng)齒嚙入和嚙出時(shí)的剛度變化斜率與從動(dòng)齒呈現(xiàn)相反的趨勢(shì)。
分別將主、從動(dòng)齒的單齒嚙合剛度進(jìn)行疊加，得到主、從動(dòng)齒綜合嚙合剛度變化曲線，如圖8和9所示。從圖中可以看出，主、從動(dòng)齒的綜合嚙合剛度隨齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度呈周期性變化，曲線波谷處為雙齒嚙合區(qū)域，其余為三齒嚙合區(qū)域;主、從動(dòng)齒的平均綜合嚙合剛度分別為2.96×108N/m和6.02×108N/m。
柔性支承軸：圖10和11所示為考慮支撐軸變形后的主動(dòng)齒單齒嚙合剛度以及主動(dòng)齒綜合嚙合剛度，從圖中可以看出，單齒嚙合剛度變化趨勢(shì)與剛性軸一致;考慮軸的變形后單齒嚙合剛度明顯下降，單齒平均嚙合剛度及平均綜合嚙合剛度分別為 0.32×108N/m和0.92×108N/m。
圖12所示為柔性支撐軸情況下齒向載荷分布，從圖中可以看出，考慮支撐軸變形后，齒輪兩端的載荷出現(xiàn)了明顯的下降，沿嚙合線的載荷分布較剛性軸均勻。這是因?yàn)辇X輪嚙合時(shí)受到的載荷會(huì)通過(guò)支撐軸變形的方式進(jìn)行一定的緩解，從而降低齒輪兩端所受到的載荷沖擊。
支承軸結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)齒輪接觸特性的影響：分析時(shí)假設(shè)主、從動(dòng)齒輪左右兩端支撐軸長(zhǎng)度相同，變化范圍為10~40mm，其中主動(dòng)軸和從動(dòng)軸軸長(zhǎng)相等;主、從動(dòng)齒輪軸徑變化范圍分別為20 ~ 50mm和45 ~ 75mm，計(jì)算間隔為5mm。
表2所列為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角為93.5°，齒輪軸直徑及長(zhǎng)度不同時(shí)，嚙合齒面最大載荷及載荷分布標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算結(jié)果，從表中可以看岀，齒輪左右兩端支撐長(zhǎng)度越大，直徑越小，齒輪嚙合時(shí)最大載荷和載荷分布標(biāo)準(zhǔn)差越小，說(shuō)明支撐長(zhǎng)度增加，直徑減小皆可使齒向載荷分布不均勻性降低。
圖13所示為支承軸長(zhǎng)度不變，支承軸直徑改變時(shí)主動(dòng)齒的單齒嚙合剛度，從圖中可以看出，在支承軸長(zhǎng)度不變時(shí)，隨支撐軸直徑的增大，齒輪嚙合剛度增大。同時(shí)單齒嚙合剛度隨齒輪轉(zhuǎn)角的變化趨勢(shì)與剛性軸時(shí)的嚙合剛度變化趨勢(shì)一致。
圖14所示為軸徑不變，支承軸長(zhǎng)度改變時(shí)主動(dòng)齒的單齒嚙合剛度，從圖中可以看出，軸徑不變時(shí)，隨支撐軸長(zhǎng)度的增加，齒輪嚙合剛度減小，單齒嚙合剛度隨齒輪轉(zhuǎn)角的變化趨勢(shì)不變。
為了分析支撐軸軸徑及長(zhǎng)度對(duì)嚙合剛度的影響權(quán)重，在表1參數(shù)基礎(chǔ)上，將支撐軸長(zhǎng)度縮短5mm，支撐軸直徑增大 5mm。應(yīng)用所編MATLAB程序計(jì)算齒輪綜合嚙合剛度，結(jié)果如圖15所示。從圖中可以看出，直徑增大5mm所增加的剛度比軸長(zhǎng)縮短5mm所增加的剛度要大，說(shuō)明增大齒輪軸直徑比縮短軸的長(zhǎng)度對(duì)齒輪嚙合剛度的影響更大。
有限元仿真結(jié)果：圖16所示為采用三維有限元方法計(jì)算得到的斜齒輪載荷分布圖。圖17和18所示分別為中間齒和第三齒上的載荷 分布理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比。從圖中可以看出，理論計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果接近，中間齒理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果的最大差值為32MPa，出現(xiàn)在嚙合線兩端嚙入和嚙出側(cè)。第三齒理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果的最大差值為15 MPa，出現(xiàn)在嚙合線中部。出現(xiàn)誤差的原因是本文在計(jì)算軸、齒變形時(shí)均采用基于一定假設(shè)基礎(chǔ)上推導(dǎo)出的理論計(jì)算公式，且忽略了輪齒的壓縮變形及軸的剪切變形。
五、結(jié)論
1) 基于材料力學(xué)理論推導(dǎo)出了齒輪軸彎曲、扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算理論公式;基于切片法及線性規(guī)劃內(nèi)點(diǎn)法，對(duì)齒輪齒向載荷分布進(jìn)行了計(jì)算，并通過(guò)與三維有限元仿真結(jié)果比較，驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的正確性。
2) 與剛性支承軸相比，考慮軸變形后，齒輪嚙合線上的載荷分布均勻性提高;從齒輪嚙入到嚙出的整個(gè)過(guò)程中, 單齒嚙合剛度及綜合嚙合剛度明顯下降。
3) 分析了齒輪軸長(zhǎng)度、軸徑對(duì)斜齒輪齒向載荷分布及嚙合剛度的影響，結(jié)果表明，齒輪左右兩端支撐軸的長(zhǎng)度增加，軸徑減小皆可使齒輪嚙合剛度降低、齒向載荷分布均勻性提高;與支撐軸長(zhǎng)度相比，支撐軸直徑對(duì)齒輪載荷分布及嚙合剛度的影響更大。
參考文獻(xiàn)略.